17-m74-Cuadrilátero4
17a Clase-S
En esta sección seguiremos observando cómo funciona el Método desde un punto de vista matemático, volveremos a ver los elementos indispensables que permiten que los elementos finitos realicen su trabajo tal y como lo hacen, seguiremos profundizando en el uso del programa “Mathematica”, pero en esta ocasión presentaremos un elemento finito regular típico, también sencillo, de entre los que permiten abordar el problema de la Tensión Plana: el elemento cuadrilátero bilineal de 4 nodos. En el podremos observar las ventajas de la formulación Isoparamétrica, y sobre todo el uso de integración numérica para la obtención de su matriz de rigidez. Los detalles de su formulación está disponible en el Tema 17 del Curso Introductorio al Método de los Elementos Finitos que se explica en la Universidad de Colorado en Boulder, bajo la dirección del Prof. Carlos A. Felippa. De nuevo no nos conformaremos con la lectura del Tema 17, sino que directamente comenzaremos a definir en el programa citado aquellos elementos que se presentan en este tema, utilizándolos para obtener la Matriz de Rigidez, pero en esta ocasión utilizando integración numérica.
Siguiendo con el planteamiento presentado en la lección previa, en esta lección en primer lugar se indican los pasos a seguir para poder formular elementos cuadriláteros. Se indica cómo calcular las derivadas parciales de las funciones de forma mediante el cálculo de las matrices Jacobiana y su inversa. Se indica a continuación cómo calcular la matriz deformaciones desplazamientos, que permite calcular las tensiones en cualquier punto del elemento a partir del vector de los desplazamientos nodales. Debido a que para calcular la matriz de rigidez de este tipo de elementos es necesario realizar la integral que la define de forma numérica, a continuación se presenta las reglas de integración numérica de Gauss. En primer lugar las reglas para problemas unidimensionales, proporcionando un representación gráfica de las mismas. Se comentan aspectos sobre su utilización que deben tenerse en cuenta para que todo salga bien. Se proporciona una implementación de las mismas en términos de “Mathematica”. Seguidamente se presentan las reglas de Gauss para problemas bidimensionales, denominadas reglas del producto, por estar basadas en el producto de las reglas unidimensionales para los dos ejes de coordenadas, proporcionando una representación geométrica de las mismas. Se proporciona una implementación de las mismas en términos de “Mathematica”. Con lo anterior se está en condiciones de comentar cómo realizar el cálculo de la matriz de rigidez para este tipo de elementos. Se presenta como realizar este cálculo y se ofrece una interpretación geométrica del Determinante de la Matriz Jacobiana.
Por ello facilitamos completo el Tema 17 del Curso Introductorio al Método de los Elementos Finitos que se explica en la Universidad de Colorado en Boulder, bajo la dirección del Prof. Carlos A. Felippa.