06-m75-FuncionesF
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Hasta el momento hemos presentado con todo detalle dos elementos finitos, el elemento triangular lineal de Turner y el cuadrilátero bilineal de Irons. Hemos podido comprobar que dos de las ideas fundamentales en su formulación son la denominada “Representación Isoparamétrica” y la de utilizar Integración Numérica para obtener la Matriz del Rigidez. Ambas ideas se utilizaran en la formulación de cualquier elemento de este tipo, y de cualquier otro tipo que nos pudiéramos inventar para el Problema de la Tensión Plana, que hemos decidido sea el que nos sirva para explicar el Método de los Elementos Finitos durante este curso. Sin embargo, hay otro aspecto vital al que en las próximas secciones pretendemos mostrar la importancia que posee. Se trata de las funciones de interpolación, que hemos denominado Funciones de Forma. La pregunta que nos podemos plantear es: ¿es posible obtener las Funciones de Forma para cualquier elemento finito que nos podamos inventar de una forma sistemática? De las lecciones de Carlos A. Felippa podemos contestar afirmativamente a ella. Sin embargo no siempre fue así. Podemos afirmar que el denominado “Método del Producto de Curvas”, que es el vamos a utilizar, ha sido el resultado de años de investigación en este campo por parte de un nutrido grupo de personas.
Comienza la lección comentando lo que suponen las funciones de forma en la historia del método, lo que le costó a las personas que las inventaron a lo largo de los años, y lo “mágicas” que parecen a los no iniciados. A continuación se presentan las condiciones que deben satisfacer la funciones de forma isoparamétricas, y se indica cómo llevar a cabo la construcción directa de las mismas. Con el fin de poner en práctica el método comentado, se procede a aplicarlo al elemento triangular lineal, al elemento triangular cuadrático, distinguiendo entre la construcción de las funciones de forma en los nodos esquina y los nodos intermedios, proporcionando una representación gráfica de las funciones obtenidas. Se aplica seguidamente el método directo al cuadrilátero de cuatro nodos, representado gráficamente las funciones obtenidas, y al cuadrilátero bicuadrático de nueve nodos, distinguiendo, de nuevo, entre los nodos esquina y los nodos en mitad de los lados, proporcionando una representación gráficas de las mismas. A continuación se aplica el método al elemento cuadrilátero “serendípito” de ocho nodos, distinguiendo entre los dos tipos de nodos existentes. Para concluir la lección se presentan ejemplos en los que el método directo de construcción de funciones de forma falla, indicando que a pesar de todo sigue siendo un buen punto de partida, y se muestra cómo proceder en estos casos con algunos de los ejemplos presentados.
Por ello facilitamos completo el Tema 18 del Curso Introductorio al Método de los Elementos Finitos que se explica en la Universidad de Colorado en Boulder, bajo la dirección del Prof. Carlos A. Felippa.