09-m82-ImpleTIso
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En el Tema 24 del Curso Introductorio al Método de los Elementos Finitos que se sigue en la Universidad de Colorado en Boulder, bajo la dirección del Prof. Carlos A. Felippa, se explica la forma de implementar en “Mathematica” elementos triangulares Isoparamétricos. Por ello en la primera parte de esta sección se proporciona completo este Tema. Seguidamente el autor de este módulo personaliza el proceso explicado para los elementos triangulares de diez y de quince nodos, dotándolos de una estructura que pueda servir para otros elementos triangulares.
Comienza la lección presentando las peculiaridades propias que aparecen en los triángulos, lo que provoca que tengan que tratarse de forma especial, y cronológicamente después de los cuadriláteros. Por ser las reglas de cuadratura de Gauss una de estas peculiaridades, a continuación se comenta cuáles deben ser las condiciones que esas tienen que cumplir para asegurar la estabilidad numérica. Seguidamente se presentan las reglas de cuadratura en los triángulos “superparamétricos”, y a continuación en los triángulos “isoparamétricos”, indicando especialmente la presencia del “jacobiano” en la integración numérica a realizar. A continuación se presenta el módulo de Mathematica que contiene la información de la cuadratura de Gauss para los triángulos. Por ser el cálculo de las derivadas parciales de las funciones de forma el aspecto más problemático de la implementación de los triángulos, seguidamente y tomando con modelo el elemento triangular cuadrático de 6 nodos, se presenta con detalle todo el proceso, indicando debe servir de modelo para la formulación de otros elementos triangulares, que se propondrán en los ejercicios. A continuación se presenta el módulo que Mathematica que permite el cálculo de las funciones de forma y sus derivadas en el triángulo comentado. Para finalizar la implementación, se presenta el módulo que permite calcular la matriz de rigidez para este tipo de elementos, comentando con detalle todos sus argumentos. Para comprobar el funcionamiento de los módulos comentados, se presenta dos modelos de triángulos, uno de lados rectos, y otro de lados curvos. Se proporcionan los datos, convenientemente “preparados”, y se realizan los cálculos, obteniéndose unos resultados fácilmente comparables. En el primer caso los resultados son los mismos a partir de un número de puntos de Gauss tal que se alcance la suficiencia de rango de matriz, comprobada calculando sus auto-valores; y en el segundo caso, en las mismas condiciones de suficiencia de rango, los resultados que se obtienen son distintos dada la distorsión geométrica del elemento, utilizada adrede para amplificar estas diferencias.
Por ello facilitamos completo el Tema 24 del Curso Introductorio al Método de los Elementos Finitos que se explica en la Universidad de Colorado en Boulder, bajo la dirección del Prof. Carlos A. Felippa.