02-m71-TensiónP
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De entre todos los problemas de la Teoría de la Elasticidad quizás el denominado “Problema de la Tensión Plana” sea el más adecuado para introducir el Método de los Elementos Finitos desde un punto de vista conceptual y desde el punto de vista matemático.
Con el fin de plantear y resolver con elementos finitos un problema mecánico, en esta lección se comienza con el problema más sencillo bidimensional. En primer lugar se indica el aspecto que tiene el problema, las suposiciones físicas que se consideran en su definición, un posible modelo matemático, y que tensiones y que fuerzas se van a considerar. Llegados a este punto, se está en condiciones se indicar con detalle el planteamiento del problema que se quiere resolver, los datos de los que se parte, las condiciones de contorno que se consideran, las relaciones matemáticas a aplicar para relacionar desplazamientos, tensiones, deformaciones y las fuerzas internas. Así como las ecuaciones, que al relacionar todas estas magnitudes, permiten resolver el problema, al menos desde un punto de vista teórico. Porque la realidad es que tal y como se plantea el problema, es matemáticamente imposible de resolver a no ser que se consideren ciertas simplificaciones. Es precisamente por esta razón, por la que se introduce la simplificación de suponer que las condiciones de contorno, en lugar de tener que cumplir “punto a punto”, tengan que cumplirse únicamente en “promedio”. Y que para ello uno de los principios que se puede utilizar es el de la energía potencial total mínima en el equilibrio. Se procede a presentar este principio, y a indicar como altera su uso el planteamiento del problema, y porque es posible llegar a resolverlo realizando una subdivisión del dominio original en subdominios cuya forma geométrica sea simple, lo que se llaman elementos finitos. Seguidamente se indica: (1) en que consiste la “discretización” del problema; (2) qué relación existe entre los denominados “nodos” y la geometría; (3) cual van a ser a partir de ahora las incógnitas del problema (desplazamientos en los nodos); (4) como vamos a poder averiguar los desplazamientos en cualquier punto del interior del elemento a partir de ellos mediante lo que se denomina interpolación; (5) que condiciones han de cumplir las denominadas “funciones de forma”, o funciones de interpolación; (6) y como se obtendrán las deformaciones y las tensiones. Seguidamente se indican las ecuaciones que van a permitir plantear las ecuaciones de un elemento finito, y como a partir de ellas, utilizando el principio citado, es posible plantear las ecuaciones que definen la denominada “matriz de rigidez del elemento”, y el “vector de fuerzas nodales consistentes”.
Por ello facilitamos completo el Tema 14 del Curso Introductorio al Método de los Elementos Finitos que se explica en la Universidad de Colorado en Boulder, bajo la dirección del Prof. Carlos A. Felippa.