16-Qué es ...
16a Clase-S
¿Qué es el Método de los Elementos Finitos?
El METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS es un procedimiento numérico convenientemente acondicionado para su uso en computadores digitales que permite resolver problemas de estructuras, de mecánica de fluidos, de transferencia de calor, entre otros. Para problemas de estática estructural, los detalles del planteamiento por elementos finitos pueden derivarse a partir del funcional energía potencial total. Si nos centramos en uno de los problemas típicos en este campo, el PROBLEMA DE LA TENSION PLANA, seguidamente se presenta de forma resumida lo básico de esta formulación.
La base de esta formulación es la siguiente: (1) Una estructura esta en equilibrio cuando su energía potencial total es mínima; (2) La energía potencial total de la estructura es la diferencia entre su energía de deformación y el trabajo potencial de las fuerzas exteriores aplicadas en ella. Debido a la imposibilidad matemática de minimizar ese funcional en dominios con formas geométricas complejas, como el de la figura, los investigadores que desarrollaron el procedimiento tuvieron la idea de llevar a cabo esa minimización en dominios con formas geométricas simples, donde si era posible solucionar este problema. Se denomina MALLA DE ELEMENTOS FINITOS a la que resulta de subdividir la estructura en regiones discretas con formas geométricas simples, denominadas ELEMENTOS. Los puntos donde los elementos se conectan entre ellos se les denominan NODOS. El resultado de este proceso de discretización es que la disminución considerable del tamaño del problema. Antes el dominio estaba formado por un número infinito en puntos, un número infinito de incógnitas, y ahora ha quedado reducido un número finito de ellas, las definidas en los nodos. En la malla de elementos finitos: (1) Los elementos tienen formas geométricas simples, como triángulos y cuadriláteros en problemas planos, y tetraedros y hexaedros en problemas espaciales: (2) Los nodos son las ubicaciones en donde hay que especificar las fuerzas y los desplazamientos, y donde tras solucionar matemáticamente el problema obtendremos los desplazamientos y las fuerzas de reacción desconocidas; y (3) La energía de deformación de la estructura es la suma de las energías de deformación de cada uno de sus elementos. Con el fin de evaluar la expresión de la energía de deformación en el elemento, SE SUPONE un CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS en el mismo: (1) Este campo se puede expresar en términos de los desplazamientos nodales; (2) El desplazamiento en cualquier ubicación dentro del elemento se obtiene por interpolación a partir de los desplazamientos nodales; (3) Las funciones de interpolación se denominan FUNCIONES DE FORMA; y (4) el campo de las deformaciones sobre el elemento se obtiene por diferenciación del campo de desplazamientos supuesto, y por lo tanto por diferenciación de las mencionadas funciones de forma. Utilizando el campo de deformaciones sobre el elemento, la energía de deformación de este es posible expresarla en términos de los desplazamientos nodales y de una matriz que representa la rigidez del elemento, denominada MATRIZ DE RIGIDEZ del mismo. Todas las entradas de la matriz de rigidez del elemento hay que obtenerlas por INTEGRACION NUMERICA, utilizando las reglas de cuadratura numérica de Gauss.
La ECUACION DE EQUILIBRIO se obtiene minimizando la Energía Potencial Total de la estructura: (1) Se define un vector global de desplazamientos nodales que contiene los desplazamientos de cada nodo; (2) La energía de deformación total de la estructura se expresa en términos del vector global de desplazamientos nodales y de una matriz que representa la rigidez de la estructura global, denominada MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL; Y (3) El vector global de desplazamientos nodales se utiliza también para constituir la expresión del trabajo potencial de las fuerzas externas. El proceso de minimización de la energía potencial total de la estructura da como resultado que el problema matemático que hay que resolver ha quedado reducido a un sistema de ecuaciones lineales, cuya expresión matricial es la siguiente: K .u = f. Que es la que se denomina ECUACION DE EQUILIBRIO, donde aparecen todos los actores mencionados anteriormente: (a) MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL de la estructura, (b) VECTOR GLOBAL DE DESPLAZAMIENTOS NODALES, y (c) VECTOR DE FUERZAS NODALES equivalente a las fuerzas aplicadas sobre la estructura. Para construir la MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL se utilizan las matrices de rigidez de cada elemento, para ello: (1) El tamaño de las matrices de rigidez de cada elemento se incrementa para hacerlo compatible con el vector global de desplazamientos nodales; y (2) Cada una de las entradas de la matriz de rigidez global es suma de las contribuciones de las entradas de cada matriz de rigidez de cada elemento. Una vez la matriz de rigidez global ha sido calculada, la ecuación de equilibrio se particiona, para separar los desplazamientos nodales conocidos de los desplazamientos nodales desconocidos, teniendo en cuenta que: (1) En aquellos nodos cuyos desplazamientos son conocidos, las reacciones serán desconocidas; (2) En aquellos nodos cuyos desplazamientos sean desconocidos (la mayoría), las fuerzas exteriores serán conocidas (cero en su mayoría); y (3) Una vez resuelto el sistema de ecuaciones lineales resultado de este proceso de particionado, será posible obtener otros resultandos, como son las tensiones, mucho más útiles desde el punto de vista del diseño.