03-m72-Triángulo3
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Para observar cómo funciona el Método desde un punto de vista matemático, e introducir los elementos indispensables que permiten que los elementos finitos realicen su trabajo tal y como lo hacen, y de paso profundizar en el uso del programa “Mathematica”, en esta sección vamos a presentar el elemento finito más simple de entre los que permiten abordar el problema de la Tensión Plana.
Con esta lección comienza la primera de las dedicadas a la definición de tipos de elementos finitos con los que se puede plantear y resolver el problema mecánico planteado en la lección anterior. En primer lugar se comentar las razones por las que este elemento es tal popular, que fundamentalmente son debidas a la facilidad de generar mallas de triángulos de forma automática. Se comentan seguidamente, aquellos aspectos que distinguirán a este elemento del resto de los que describiremos y utilizaremos. A continuación se procede a su definición, indicando la importancia que el sentido de la numeración de sus nodos tiene en el signo del área calculada con la fórmula que se proporciona. Se presenta el sistema de coordenadas paramétrico que se utilizó en la primera definición histórica que se hizo de él, denominándose a sus coordenadas, coordenadas triangulares (CT). Se comentan los distintos nombres que se han utilizado para referirse a ellas a lo largo del tiempo, y como se definen, especificando la ecuación que relaciona estas coordenadas en cualquier punto del triángulo. Se indica cómo utilizarlas para formular una interpolación lineal de una función dentro del triángulo, a partir de los valores de esa función en los nodos. Se presentan: (1) las ecuaciones que permiten transformar las coordenadas triangulares en cartesianas; (2) cómo obtener las derivadas parciales en dicha transformación; y (3) cómo obtener las derivadas parciales cartesianas de una función definida en coordenadas triangulares. Con todo lo citado anteriormente, está todo listo para formular matemáticamente el ELEMENTO TRIANGULAR LINEAL. Seguidamente se indica: (1) que la formulación de este elemento las funciones de forma son directamente las coordenadas triangulares; (2) cómo se realiza la interpolación de los desplazamientos; (3) cómo obtener las deformaciones a partir de los desplazamientos en los nodos; (4) cómo obtener las tensiones a partir de los citados desplazamientos; (5) cómo calcular la matriz de rigidez del elemento, el aspecto de dicha matriz de rigidez cuando el espesor es constante, y que elemento formuló Turner, en su famoso artículo, primero en el que se formuló un elemento finito; y (6) cómo calcular el vector de fuerzas nodales consistentes, citando la fórmula que permite agilizar el cálculo de integrales en función de las CT.
Por ello facilitamos completo el Tema 15 del Curso Introductorio al Método de los Elementos Finitos que se explica en la Universidad de Colorado en Boulder, bajo la dirección del Prof. Carlos A. Felippa.