LECCION 3 - EJERCICIO 3 (14.5) v.2018

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ECUACIONES CONSTITUTIVAS - RELACION TENSIONES-DEFORMACIONES

TENSIONES

s={sxx,syy,sxy};

s//MatrixForm

DEFORMACIONES

gxy = 2*exy; syx = sxy; eyx = exy

e={exx,eyy,gxy};

Dimensions[e]

e//MatrixForm

MATRIZ Em

Em=(X);

RELACION TENSIONES - DEFORMACIONES

s=Em.e;

s//MatrixForm

Rs={sxx->s[[1]],syy->s[[2]],sxy->s[[3]]};

RELACION DEFORMACIONES - TENSIONES

s={sxx,syy,sxy};

e=Simplify[X.s];

e//MatrixForm

Ree={exx->e[[1]],eyy->e[[2]],gxy->e[[3]]};

DENSIDAD DE ENERGIA DE DEFORMACION

DEFINICION

𝒰=(1/2)*(sxx*exx+syy*eyy+sxy*exy+syx*eyx)

𝒰=𝒰/.{syx->sxy,eyx->exy}

SOLO EN DEFORMACIONES

𝒰d1=𝒰/.X/.{gxy->2*exy}

e={exx,eyy,gxy};

Em

SEGUN ENUNCIADO

𝒰d2=(1/2)*e.Em.e

𝒰d2=𝒰d2/.{gxy->2*exy}

𝒰d1

COMPROBACION

𝒰d1==𝒰d2

Simplify[%]

SOLO EN TENSIONES

𝒰t1=𝒰/.{2*exy->gxy}/.X

s={sxx,syy,sxy};

SEGUN ENUNCIADO

𝒰t2=Simplify[(1/2)*s.Inverse[Em].s]

𝒰t1

COMPROBACION

𝒰t1==𝒰t2

Simplify[%]

EN TENSIONES Y DEFORMACIONES

VECTOR m - TERMINOS A UTILIZAR

m={exx,eyy,sxy};

RELACION TENSIONES-DEFORMACION

s=Em.e;

s//MatrixForm

ECUACIONES A RESOLVER

Ecuaciones={sxx==s[[1]],syy==s[[2]],sxy==s[[3]]}

RESOLVEMOS PARA EL RESTO DE TERMINOS

Solucion=Solve[Ecuaciones,{sxx,syy,gxy}]

DENSIDAD ENERGIA DE DEFORMACION

𝒰m1 = 𝒰 /.{2*exy->gxy}/. Solucion[[1]]

𝒰m1=Expand[𝒰m1]

Expand[𝒰m1]

DENSIDAD ENERGIA DE DEFORMACION - EN ENUNCIADO

A=(({{A11, A12, A13}, {A12, A22, A23}, {A13, A23, A33}}));

𝒰m2 = (1/2)*m.A.m

𝒰m2=Expand[𝒰m2]

Factor[𝒰m2]

PROCESO DE PLANTEAMIENTO ECUACIONES A RESOLVER - SON 9

𝒰m1m=𝒰m1/.{(exx^2)->exx2, (eyy^2)->eyy2,exx eyy->exxyy,exx sxy->exsxy,eyy sxy->eysxy,(sxy^2)->sxy2}

𝒰m2m=𝒰m2/.{(exx^2)->exx2, (eyy^2)->eyy2,exx eyy->exxyy,exx sxy->exsxy,eyy sxy->eysxy,(sxy^2)->sxy2}

EcuacionesM={(∂_exx2)𝒰m1m==(∂_exx2)𝒰m2m,(∂_eyy2)𝒰m1m==(∂_eyy2)𝒰m2m,(∂_exxyy)𝒰m1m==(∂_exxyy)𝒰m2m,(∂_exsxy)𝒰m1m==(∂_exsxy)𝒰m2m,(∂_eysxy)𝒰m1m==(∂_eysxy)𝒰m2m,(∂_sxy2)𝒰m1m==(∂_sxy2)𝒰m2m}

SOLUCION DE ECUACIONES

SolucionM=Solve[EcuacionesM,{A11,A22,A33,A12,A13,A23}]

SOLUCION MATRIZ A

As=A/.SolucionM[[1]]

As//MatrixForm

OK